1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )
A．2 B．3 C.3 D．23
4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC 5. 下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )
A．22 B.2 C．62 D．82
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED的面积( )
A．23 B．4 C．43 D．8
8. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )
A．1 B．2 C.2 D.3
9. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC＝3.6.其中正确结论的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．
13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．
14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF. (1)证明：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
参考答案：
1---11 CBDCC AAACD D 12. 45°或105° 13. ①③④ 14. 30
2 2
16. 解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点， 15.
∴DE是△ABC的中位线， 1
∴DE∥AC，DE＝AC，
2
∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC， ∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE (2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形． 理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°， 1
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，
2∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE， 又∵四边形ACEF为平行四边形． ∴四边形ACEF为菱形
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是（ ）
A．
ADBC DFCEB．
BCDF CEAD2
C．
CDBC EFBED．
CDAD EFAFmn的图象可能是x2．已知二次函数y=（x+m）–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=（ ）
A. B. C. D.
3．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE=2（AD+AB）﹣CD．其中正确的是（ ）
2
2
2
2
A.①③④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
4．下列所述图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 A．正三角形 5．在
B．平行四边形
C．正五边形
D．圆
)随时间(单位：)变化的图象如图所示，根
的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程(单位：
据图中提供的信息，下列说法中，错误的是：( )
A.出发后1小时，两人行程均为； B.出发后1.5小时，甲的行程比乙多D.甲比乙先到达终点.
；
C.两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； 6．下列运算正确的是（ ） A.
B.
C. D.
7．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( ) A．75
B．90
C．105
D．120
8．估计(32842)7的值应在（ ） A．8和9之间
B．9和10之间
C．10和11之间
D．11和12之间
9．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（ ） A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．长方形
10．下列说法正确的个数是（ ）
①一组数据的众数只有一个②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据④数据：1，1，3，1，1，2的众数为4 ⑤一组数据的方差一定是正数． A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
11．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，____，求证：四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？
条件分别是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形． 其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．④
12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A．
423 3B．
843 3C．
823 3D．
84 3二、填空题
13．在实数范围内分解因式：x24______________________.
14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．
15．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．
16．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 17．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数
，则k的值为________________ .
上，第二象限的点B在反比例函数
上，且OA⊥OB，
18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题
19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y（立方米）与x（时）的函数图象．
（1）求每小时的进水量；
（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；
（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围． 20．某小区应政府号召,开展节约用水活动,效果显著.为了了解该小区节水情况,随机对小区的100户居民节水情况进行抽样调查,其中3月份较2月份的节水情况如图所示.
（1）补全统计图;
（2）计算这100户居民3月份较2月份的平均节水量;
（3）已知该小区共有5000户居民,根据上面的计算结果,估计该小区居民3月份较2月份共节水多少吨? 21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=
4，且BC=6，AD=4．求cosA的值． 3
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值． 23．定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形．点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ． （1）请证明△APQ为PQ边上的“半高”三角形． （2）请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由； （3）若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值
24．“全民阅读”活动，是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：A．圈点批注法；B．摘记法；C．反思法：D．撰写读后感法；E．其他方法．某县某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题： 中学生阅读方法情况统计表
A B C D E 阅读方法 圈点批注法 摘记法 反思法 撰写读后感法 其他方法 频数 a 20 b 16 4 （1）请你补全图表中的a，b，c数据：a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有 人；
（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，你同意小明的观点吗？请说明你的理由．
（4）该校决定从本次抽取的“其他方法”4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
25．（某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 类别 I II III IV 合计 成绩（分） 40 37—39 34—36 31—33 频数 36 a 24 6 c 频率 0.3 b 0.2 0.05 1 （1）a＝ ； b＝ ；
（2）若将该表绘制成扇形统计图，那么Ⅲ类所对应的圆心角是 °；
（3）若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；
（4）估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B C B C A C B 二、填空题 13．x2x2 14．85° 15．47° 16．
C C 3 517． 18．
1 437. 2三、解答题
x19．（1）每小时的进水量为5立方米；（2）当8≤x≤12时，y＝3x+1；（3）9剟【解析】 【分析】
（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；
（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻 【详解】
解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米 ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时） ∴每小时的进水量为5立方米．
（2）设函数y＝kx+b经过点（8，25），（12，37）
k38kb25 解得：∴当8≤x≤12时，y＝3x+1 b112kb37（3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米 ∴每小时出水量为：5﹣3＝2（立方米） 当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9 当x＞14时，37﹣2（x﹣14）≥28，解得：x≤
37 237 2∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x的取值范围是9≤x≤【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段
函数．
20．（1）见解析；（2）这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t；（3）估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t. 【解析】 【分析】
（1）从图中可获得节水量在0.4-0.8t的有5户，0.8-1.2t的有20户，1.6-2.0t的有30户，2.0-2.4t的有10户，样本共100户，可求得节水1.2-1.6t的有35户，补全图形即可； （2）运用加权平均数公式把组中值当作每组数据，户数看成权，可求得平均节水量； （3）利用样本估计总体可得结果. 【详解】
解：(1)100-5-20-30-10=35(户).
∴节水1.2~1.6吨的有35户.补全统计图如下.
(2)由统计图得每小组中的组中值分别为
0.40.80.81.21.21.61.62.02.02.4=0.6,=1.0,=1.4,=1.8,=2.2, 22222所以这100户居民3月份较2月份的平均节水量 =
0.651.0201.4351.8302.210=1.48(t).
100答:这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t; (3)由题意可得1.48×5000=7400(t).
答:估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t. 【点睛】
本题考查从统计图表中获取信息的能力，加权平均数的应用和统计中用样本估计总体的思想． 21．25 5【解析】 【分析】
先在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由AC=AD+DC求出AC的长，然后在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，从而求出 cosA的值． 【详解】
解：在Rt△BDC中， tan∠DBC=∴ tan∠DBC=∴CD=8，
4， 且BC=6 ， 3DCDC4==， BC63∴AC=AD+DC=12， 在Rt△ABC中，AB=AC2BC2=65 ，
AC1225∴ cosA ===.
AB655【点睛】
本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 22．(1)见解析；（2）5 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论． 【详解】
（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根， ∴AB+AC＝m+2，AB•AC＝2m， ∵△ABC是直角三角形， ∴AB+AC＝BC，
∴（AB+AC）2﹣2AB•AC＝BC2， 即（m+2）2﹣2×2m＝32， 解得：m＝±5 ， ∴m的值是±5． 又∵AB•AC＝2m，m为正数， ∴m的值是5． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23．(1)见解析；（2）2PM＝BM+CN，理由见解析；（3）【解析】 【分析】
（1）根据平行相似，证明△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比：“半高”三角形的定义可结论；
（2）证明四边形PMNQ是矩形，得PQ＝MN，PM＝KR，代入AR＝
2
2
2
85. 5PQAK，由BCAR1BC，可得结论； 2（3）先根据△ABC的面积等于16，计算BC和AR的长，设MN＝x，则BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝根据勾股定理表示MQ，配方可得最小值． 【详解】
（1）证明：如图，过A作AR⊥BC于R，交PQ于K， ∵△ABC是BC边上的“半高”三角形， ∴AR＝
1（8﹣x），21BC， 2∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴
PQAK， BCARAKAR1， ∴
PQBC2∴AK＝
1PQ， 2∴△APQ为PQ边上的“半高”三角形． （2）解：2PM＝BM+CN，理由是： ∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°， ∴四边形PMNQ是矩形， ∴PQ＝MN，PM＝KR，
11PQ，AR＝BC， 221∴AK+RK＝（BM+MN+CN），
21111PQ+PM＝BM+MN+CN， 2222∵AK＝
∴2PM＝BM+CN；
（3）解：∵△ABC的面积等于16， ∴
1BCAR＝16， 21BC， 2∵AR＝
11BCBC＝16， 22BC＝8，AR＝4，
设MN＝x，则BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝
1（8﹣x）， 2215864∵MQ＝MN2QN2x2(8x)2， x4455∴当x＝时，MQ有最小值是
8585． 5
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题． 24．（1）32，8，10%；（2）96；（3）1200人；（4）【解析】 【分析】
(1)先根据“摘记法”的频数及其频率求得总人数，再根据频数、频率与总数间的关系可得a、b、c的值； (2)总人数乘以样本中“反思法”学生所占比例可得； (3)利用总人数乘以撰写读后感法的百分比即可解答
（4）用树状图表示出四人中随机抽取两人有12种可能，即可解答 【详解】
解：（1）本次调查的学生有：20÷25%＝80， a＝80×40%＝32，
b＝80×（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝80×10%＝8， c＝（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝10%， 故答案为：32，8，10%；
（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：960×10%＝96人， 故答案为：96；
（3）同意小明的观点；理由如下：
全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有：6000×20%＝1200人； （4）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是
21=． 1261. 6
【点睛】
此题考查树状图法，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据
25．（1）a＝54；b＝0.45； （2）72°；（3）“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．
【解析】 【分析】
（1）先利用一类的频数除以频率计算出总频数c，再用总频数减去其余三类，即可得到a，再用a的频数除以总频数即可得到b
（2）圆周角为360°，第三类占总数的0.2，所以第三类的圆心角=360°×0.2 （3）根据九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人进行反推即可解答 （4）利用总人数乘频率即可解答 【详解】
（1）总频数=36÷0.3=120，a的频数=总频数-36-24-6=54，b频率=54÷120=0.45， a＝54；b＝0.45； （2）0．2×360°=72°； （3）∵
6432056280=，=， 120600120600∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理； （4）0.3×600＝180(人)
答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人． 【点睛】
此题考查了频数分布表，圆周角，用样本估计总体，熟练掌握运算法则是解题关键
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A.此抛物线的解析式是y=﹣
12
x+3.5 5B.篮圈中心的坐标是（4，3.05） C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D.篮球出手时离地面的高度是2m 2．下列等式一定成立的是（ ） A．2a﹣a＝1 C．（2ab2）3＝2a3b6
B．a2•a3＝a5
D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
3．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（ ） A.20元
B.42元
C.44元
D.46元
4．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ） A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4
，则△CEF的周长为（ ）
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
6．关于的一元二次方程A.
B.
有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
C.
D.
7．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，
则∠BEG＝( )
A．20° B．25° C．35° D．40°
8．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k＝
3时，图中阴影部分为正六边形；③2当k＝533；正确的是( ) 时，图中阴影部分的面积是82
A．① B．①② C．①③ D．①②③
9．若x是不等于1的实数，我们把
11称为x的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数为1x1x111＝，现已知x1＝，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则
1(1)23x2019的值为（ ） A．﹣
1 3B．﹣2 C．3 D．4
10．如图，已知直线y＝
3x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的4圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
11．华为手机Mate X在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（ ） A．603×106
B．6.03×108
C．60.3×107
D．0.603×109
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，折叠△ABC使得点C落在AB边上的E处，连接DE、CE，下列结论：①△DEB是等腰直角三角形；②AB＝AC+CD；③（ ）
BEBD ；④S△CDE＝S△BDE．其中正确的个数是ACAB
A．1 二、填空题
B．2 C．3 D．4
13．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝
11x+b经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，54y3)，…Bn(n，yn) (n为正整数)，依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二个抛物线与x轴交点A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此类推，若x1＝d(0＜d＜1)，当d为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．
14．如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________．
15．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为2的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．
16．抛物线 y2x1的顶点坐标是________．
17．命题“若a＝b，则a3＝b3．”是真命题．它的逆命题“若a3＝b3，则a＝b”是_____（填真或假）命题．
18．如图，直线y1＝mx经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y2＝kx＋b交于点P，则不等式kx＋b＞mx＞－2的解集为_________________．
2
三、解答题
19．关于x的一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式．
20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）．
k（x＞0）的图象交于点A（m，4）和点B（4，1）． x
（1）试说明四边形AOBC是矩形．
（2）在x轴上取一点D，将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D对应）． ①若OD＝3，求点D'的坐标．
②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．
21．抛物线L：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（常数a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且x1•x2＜0，AB＝4，当直线l：y＝﹣3x+t+2（常数t＞0）同时经过点A，C时，t＝1． （1）点C的坐标是 ；
（2）求点A，B的坐标及L的顶点坐标；
（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L的大致图象；
（4）将L向右平移t个单位长度，平移后y随x的增大而增大部分的图象记为G，若直线l与G有公共点，直接写出t的取值范围．
22．从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8干米/时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）填空：若沈阳到大连的铁路长396千米，则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了 小时．
23．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示． （1）当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；
（2）九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；
①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量； ②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC＝3，则点D到AB的距离等于 ．
25．设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数” （1）反比例函数y2019是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由． x2
（2）若二次函数y＝x﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B A A C C B C 二、填空题 13．
B C 11133、、 20202014．150° 15．75° 16．（0，-1） 17．真 18．－4＜x＜2 三、解答题 19．（1）m＝1，y＝【解析】 【分析】
（1）把B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m的值，从而求出反比例函数的解析式和m的值； （2）求得A点坐标，进而把A、B点的坐标代入一次函数y＝kx+b的解析式，就可求出a、b的值，从而求得一次函数的解析式． 【详解】
（1）∵点B（4，1）在反比例函数y＝∴1＝
4；（2）y＝﹣x+5； xk（x＞0）的图象上， xk， 44 x∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝
∵点A（m，4）在反比例函数y＝∴4＝
4的图象上， x4， m∴m＝1．
（2）点A（1，4）和点B（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，
ab4∴
4ab1a1解得
b5∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5． 【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'的最小值是80或45，点D'的坐标是（4，2）． 【解析】 【分析】
（1）根据矩形的判定证明即可；
（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可． 【详解】
（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）． ∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8， ∴OA＝BC，AC＝OB， ∴四边形AOBC是平行四边形， ∵∠AOB＝90°， ∴▱AOBC是矩形； （2）∵▱AOBC是矩形， ∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，
∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应）， ∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°， 即点B'在AC边上， ∴D'B'⊥AC，
①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，
∴点D'的坐标为（4，9）；
②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11， ∴点D'的坐标为（4，15），
综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）． AD'+OD'的最小值是80（或45）， 点D'的坐标是（4，2）． 【点睛】
此题考查四边形的综合题，关键是根据旋转的性质和矩形的性质解答．
21．(1) 点C的坐标是（0，3）; （2）A（1，0），B（﹣3，0），L的顶点坐标为（﹣1，4）；(3)见解析；（4）t≥
1 2【解析】 【分析】
(1)把t＝1代入y＝﹣3x+t+2，令x＝0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标； (2)根据待定系数法，可得函数解析式； (3)根据描点法，可得函数图象；
(3)根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案． 【详解】
(1)直线的解析式为y＝﹣3x+3，
当x＝0时，y＝3，即C点坐标为(0，3)， 故答案为：(0，3)；
(2)当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x1＝1，即A(1，0)， 由点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1•x2＜0，AB＝4， 得1﹣x2＝4，解得x2＝﹣3，即B(﹣3，0)；
L：y＝a(x﹣1)(x+3)，将C(0，3)坐标代入L，得a＝﹣1， ∴L的解析式为y＝﹣(x﹣1)(x+3)， 即y＝﹣(x+1)2+4，
∴L的顶点坐标为(﹣1，4)； (3)函数图象如图所示：
；
(4)L向右平移t个单位的解析式为y＝﹣(x+1﹣t)2+4， a＝﹣1＜0，当xt﹣1时，y随x的增大而增大．
若直线l与G有公共点时，则有当x＝﹣1+t时，G在直线l的上方， 即﹣(t﹣1+1﹣t)2+4≥﹣3(t﹣1)+t+2， 解得t≥
1． 2【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解(2)的关键是待定系数法；解(3)的关键是描点法，解(4)的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律． 22．（1）该火车每次提速的百分率为10%．（2）0.2． 【解析】 【分析】
(1)设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用第一次提速后的速度＝提速前的速度×(1+提速的百分率)可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度﹣两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论． 【详解】
(1)设该火车每次提速的百分率为x， 依题意，得：180(1+x)2＝217.8， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(舍去)， 答：该火车每次提速的百分率为10%；
(2)第一次提速后的速度为180×(1+10%)＝198(千米/时)， 第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为故答案为：0.2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（1）y＝150﹣x； （2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元． 【解析】 【分析】
396396＝0.2(小时)， 180198（1）若购买x双（10＜x＜60），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式； （2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60． ②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来． 【详解】
解：（1）购买x双（10＜x＜60）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x． 故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；
（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．
当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200， 解得x1＝30，x2＝40；
当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，
则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200， 解得x＝30或x＝70，但40＜x＜60，所以无解； 答：第一批购买数量为30双或40双．
②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元． 当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225， ∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元； 当40＜x＜60时，
w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）+10000， ∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，
综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元． 【点睛】
考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24．（1）作图见解析；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）根据角平分线的尺规作图可得；
（2）作DE⊥AB于E，设DE＝DC＝x，由∠A＝30°，BC＝3知AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝23，由BC+AC＝AB得到关于x的方程，解之可得． 【详解】
（1）如图所示，BD即为所求；
2
2
2
2
（2）设DC＝x， 过点D作DE⊥AB于E， 则∠DEB＝∠C＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝x，
∵∠A＝30°，BC＝3，
∴AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝23，
由BC+AC＝AB得（3）+（3x）＝（23）， 解得：x＝1（负值舍去），
∴DE＝1，即点D到AB的距离等于1， 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点．
25．（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n． 【解析】 【分析】
（1）根据反比例函数y2
2
2
2
2
2
2019的单调区间进行判断； x（2）由于二次函数y=x2-2x-k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x2-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=-2．当x=2时，y=2，所以k=-2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=-2．
（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值，即可解答． 【详解】
解：（1）反比例函数y2019是闭区间[1，2019]上的“闭函数”， x理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1， ∴反比例函数y2019是闭区间[1，2019]上的“闭函数”； x2
2
（2）∵二次函数y＝x﹣2x﹣k＝（x﹣1）﹣1﹣k， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”， ∴当x＝1时，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2， 即k的值是﹣2；
（3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
kmbm∴当k＞0时，，
knbn得k1，
b0即此函数的解析式为y＝x； 当k＜0时，kmbn，
knbmk1得，
bmn即此函数的解析式为y＝﹣x+m+n． 【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．
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