第三章 一元函数的导数和微分
3.1 导数概念
一、问题的提出 1.切线问题
割线的极限位置——切线位置
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
切线MT的斜率为
2.自由落体运动的瞬时速度问题
1
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点
的某个邻域内有定义，当自变量x在
处取得增量Δx（点
仍在
该邻域内）时，相应地函数y取得增量极限存在，则称函数y=f（x）在点
；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的
处的导数，记
处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点
为 即
其它形式
关于导数的说明： 在点
处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程
度。
如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一
，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函
数，记作
注意：
2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8
设函数f（x）在点x=a可导，求：
2
（1）
【答疑编号11030101】
（2）
【答疑编号11030102】
三、单侧导数 1.左导数：
2.右导数：
3
函数f（x）在点
处可导
左导数
和右导数
都存在且相等.
例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤：
及
都存在，就说f
例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104】 解
4
例4、设函数
【答疑编号11030105】 解
同理可以得到
例5、求
例6、求函数
【答疑编号11030106】 解
的导数。
5
例7、求函数
的导数。
【答疑编号11030107】 解
四、常数和基本初等函数的导数公式
五、导数的几何意义
表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即
6
切线方程为
法线方程为
例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108】 解
由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
7
法线方程为
六、可导与连续的关系
1.定理 凡可导函数都是连续函数.
注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导
极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数 【答疑编号11030109】 解：
在x=0处的连续性与可导性。
8
例10、 P115第10题
设
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110】 解：（1）
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（2）
9
七、小结
1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率；
3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
4.
5.求导数最基本的方法：由定义求导数. 6.判断可导性
3.2 求导法则
3.3 基本求导公式
一、和、差、积、商的求导法则 1.定理： 如果函数并且
在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，
10
推论
2.例题分析 例1、求
【答疑编号11030201】 解 例2、求
的导数。 的导数。
【答疑编号11030202】 解
11
例3、求y=tanx的导数。 【答疑编号11030203】 解
同理可得
例4、求y=secx的导数。 【答疑编号11030204】 解
12
同理可得
例5、131页例2 设
【答疑编号11030205】
，求
.
二、反函数的导数 1.定理： 如果函数
在某区间
内单调、可导且
，那么它的反函数
在对应区
间
内也可导，且有
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 2.例题分析
例6、求函数y=arcsinx的导数 【答疑编号11030206】 解
同理可得
13
例7、求函数
的导数。
【答疑编号11030207】 解
特别地
三、小结：初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设
u=u（x），v=v（x）可导，则
例8、127页1题（6）（14）（15）
14
（1）1题（6）小题 【答疑编号11030208】 解：
（2）1题（14）小题 【答疑编号11030209】 解：
（3）1题（15）小题 【答疑编号11030210】 解：
15
例9、115页3
若一直线运动的运动方程为 【答疑编号11030211】 解：
，求在t=3时运动的瞬时速度。
例10、115页5 求曲线
的与直线y=5x的平行的切线。
【答疑编号11030212】
16
另一条求出来是
四、分段函数的求导问题 1.114页定理：设 （1）如果函数则
在
上连续，在
上可导，且当
时
，
在
上连续，在
上可导，且当
时
，
（2）如果函数则
2.分段函数的求导问题举例
例11、 116页11 求下列分段函数f（x）的
：
（1）
【答疑编号11030213】 解：
17
五、复合函数的求导法则 1.复合函数的求导法则 定理 如果函数
在点x0可导，而y=f（u）在点
可导，则复合函数
在
点x0可导，且其导数为
即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则） 推广 设
，则复合函数
的导数为
2.例题分析
例1.求函数y=lnsinx的导数。 【答疑编号11030301】
18
解 ∵y=lnu，u=sinx.
例2.已知y=（2x-3x+5），求 【答疑编号11030302】
2100
。
例3.求y=sin5x的导数 【答疑编号11030303】
19
例4.求函数的导数 【答疑编号11030304】
解
20
例5.（教材133页习题3.3，1题（2）小题）求 【答疑编号11030305】
的导数
21
例6.求
的导数
【答疑编号11030306】
22
例7.求的导数（a>0）
【答疑编号11030307】
例8.求函数
【答疑编号11030308】
的导数
解
23
例9.（教材128页习题3.2，3题（5）小题）求 【答疑编号11030309】
的导数
n
例10.（教材128页习题3.2，3题（7）小题）求y=（sinnx）（cosx）的导数 【答疑编号11030310】
例11.求
【答疑编号11030311】
的导数
24
例12.求的导数 【答疑编号11030312】
例13.求的导数
【答疑编号11030313】
25
例14.求
的导数
【答疑编号11030314】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315】
在点x＝1可导，求a，b。
26
27
幂指函数、抽象的复合函数的求导例题
一、幂指函数求导
x
例1： x
【答疑编号11030401】
例2： y=（sinx）求y＇ 【答疑编号11030402】
cosx
28
二、抽象的复合函数求导
例3：设f（u）可导，求下列函数的导数 （1）f（lnx）+lnf（x） 【答疑编号11030403】 解：
（2）y=f（e）
【答疑编号11030404】 解：
-x
29
（3）y= e
【答疑编号11030405】
f（x）
（4）
【答疑编号11030406】
（5）
【答疑编号11030407】
3.4 高阶导数
30
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度。
设s=f（t），则瞬时速度为v（t）=f＇（t） ∵加速度α是速度v对时间t的变化率 ∴a（t）=v＇（t）=[f＇（t）]＇
定义 如果函数f（x）的导数f＇（x）在点x处可导，即
存在，则称（f＇（x））＇为在点x处的二阶导数。
记作。
二阶导数的导数称为三阶导数,。
三阶导数的导数称为四阶导数, 例4：y=3x+sinx
【答疑编号11030408】
2
。
一般地，函数f（x）的n-1阶导数的导数称为函数f（x）的n阶导数，记作
相应地，f（x）称为零阶导数；f＇（x）称为一阶导数。 例5：求下列函数的二阶导数： （1）y=ax+b
【答疑编号11030409】
31
（2）y=cos nx；
【答疑编号11030410】
（3）y=e
【答疑编号11030411】
sinx
二、对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的。 例6：求下列函数的n阶导数
x
（1）y=e
【答疑编号11030412】
32
（2）y=x
【答疑编号11030413】
5
例7：设y=x求y 解：
用数学归纳法可以证明：
特别，当μ=n时，即y=xn，其n阶导数 （n） n（n）
y= （x）=n! 【答疑编号11030414】 例8：
【答疑编号11030415】
μ
（n）
33
例9：设y=（x+1）（x+x+1），求y 【答疑编号11030416】
2
10
9
3
（30）
例10：设y=sinx，求y。 【答疑编号11030417】 解
„„
（n）
同理可得
注意：求n阶导数时,求出1——3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.（数学归纳法证明）
例11：设f（x）的n-2阶导数 【答疑编号11030418】
，求f
（n）
（x）。
34
3.5 函数的微分
问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0+△x，
∵正方形面积 ∴
是△x的线性函数且为△A的主要部分， 是△x的高阶无穷小，当|△x|很小时可忽略。
35
微分的定义
定义：设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，如果
成立（其中A是与△x无关的常数），则称函数 y=f（x）在点x0可微，并且称A·△x为函数 y=f（x）在点x0相应于自变量增量△x的微分， 记作
微分dy叫做函数增量△y的线性主部。（微分的实质） 可微的条件
定理：函数f（x）在点x0可微的充要条件是函数f（x）在点x0处可导，且
通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记作dx，即dx=△x
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，导数也叫“微商”。 微分的几何意义 几何意义:（如图）
36
当△y是曲线的纵坐标增量时，dy就是切线纵坐标对应的增量，当|△x |很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线段MN。
微分的求法
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分。 1.基本初等函数的微分公式
37
2.函数和、差、积、商的微分法则
例1：设
，求dy。
【答疑编号11030501】
例2：，求dy。 【答疑编号11030502】
38
例3：
，求dy。
【答疑编号11030503】
微分形式的不变性
设函数y=f（x）有导数f＇（x）
39
（1）若x是自变量时，dy= f＇（x）dx （2）若x是中间变量时，同样有
，这就是微
结论：无论x是自变量还是中间变量，函数y=f（x）的微分形式总是分形式的不变性
例4： 设y=sin（2x+1），求dy。 【答疑编号11030504】 解法一：
解法二：∵y=sinu,u=2x+1
∴dy=cosudu=cos（2x+1）d（2x+1） =cos（2x+1）·2dx=2cos（2x+1）dx 例5（P144、例6（1））:
设函数f（u）可微，求函数y=f（lnx）的微分： 【答疑编号11030505】 解：
40
例6：求
【答疑编号11030506】
例7（P144、例7）：求 【答疑编号11030507】
41
利用微分计算函数的近似值
求f（x）在点x=x0附近的近似值；
例8：计算
的近似值。
【答疑编号11030508】 解：
42
3.6 讲。
导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面43
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容